Über eine Funktion von drei Winkeln, deren erste Abgeleiteten ebenfalls als Winkel anzusehen und durch algebraische Relationen ihrer Kosinus zu denen der Unabhängigen bestimmt sind

J. J. Burckhardt

A chapter in Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1953, pp 156-163 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Wenn im folgenden alle Winkel zwischen 0 und π und alle Quadratwurzeln positiv angenommen werden und man setzt cos a = sin α cos γ sin 2 α − cos 2 β , cos b = cos α cos β cos γ sin 2 α − cos 2 β sin 2 γ − cos 2 β , cos c = sin γ cos α sin 2 γ − cos 2 β $$\begin{gathered} \cos a = \frac{{\sin \alpha \cos \gamma }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\beta } }}, \hfill \\ \cos b = \frac{{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\beta } \sqrt {{{\sin }^2}\gamma - {{\cos }^2}\beta } }}, \hfill \\ \cos c = \frac{{\sin \gamma \cos \alpha }} {{\sqrt {{{\sin }^2}\gamma - {{\cos }^2}\beta } }} \hfill \\ \end{gathered} $$ so wird man die drei Bedingungen dafür, daß die Formel a d α + b d β + c d γ $$ad\alpha + bd\beta + cd\gamma $$ ein vollständiges Differential sei, erfüllt finden. Wir bezeichnen das Integral mit f(α, β, γ) und bestimmen seine Konstante dadurch, daß wir es für sin α sin γ = cos β $$\sin \alpha \sin \gamma = \cos \beta $$ verschwinden lassen, weil es dann zugleich mit seinen Abgeleiteten a, b, c verschwindet. Aus dieser Definition erhellt, daß die Funktion f ihren Wert nicht ändert, wenn man die äußern Argumente α und γ vertauscht; das heißt, es ist f ( α , β , γ ) = f ( λ , β , α ) $$f\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right) = f\left( {\lambda ,\beta ,\alpha } \right)$$ .

Date: 1953
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DOI: 10.1007/978-3-0348-4117-7_5

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