Über die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante

Adolf Hurwitz

Chapter LIX in Mathematische Werke, 1963, pp 208-235 from Springer

Abstract: Zusammenfassung In der vorliegenden Abhandlung bezeichnet der Buchstabe P stets eine positive ungerade Zahl, die grösser als 1 ist und ausser durch 1 durch keine Quadratzahl teilbar ist. Ferner bedeutet h(D) die Anzahl der Klassen, in welche die eigentlich primitiven positiven Formen a x 2 + 2 b x y + c y 2 $$a{x^2} + 2bxy + c{y^2}$$ der negativen Determinante b 2 − a c = − D $${b^2} - ac = - D$$ zerfallen. Wenn zur. Abkürzung der Schreibweise 1 8 P = ω $$\frac{1}{8}P = \omega$$ gesetzt wird, so bestehen nach Dirichlet1) die folgenden Gleichungen, welche die Klassenzahlen durch Summen von Legendre-Jacobischen Zeichen darstellen: I . h ( P ) = ∑ 0 4 ω ( s P ) , f a l l s P ≡ 3 ( mod .4 ) , $$I.\;\;h(P) = \sum\limits_0^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$ I I . h ( P ) = 2 ∑ 0 2 ω ( s P ) , f a l l s P ≡ 1 ( mod .4 ) , $$II.\;\;h(P) = 2\sum\limits_0^{2\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4),$$ I I I . h ( 2 P ) = 2 ∑ 0 3 ω ( s P ) , f a l l s P ≡ 3 ( mod .4 ) , $$III.\;\;h(2P) = 2\sum\limits_0^{3\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$ I V . h ( 2 P ) = 2 { ∑ 0 ω ( s P ) − ∑ 3 ω 4 ω ( s P ) } , f a l l s P ≡ 1 ( mod .4 ) . $$IV.\;\;h(2P) = 2\left\{ {\sum\limits_0^\omega {\left( {\frac{s}{P}} \right) - \sum\limits_{3\omega }^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} } } \right\},\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4).$$

Date: 1963
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