Über die algebraische Darstellung der Normgebilde

Adolf Hurwitz

Chapter LXXXVIII in Mathematische Werke, 1963, pp 632-640 from Springer

Abstract: Zusammenfassung In der Abhandlung „Über die Theorie der algebraischen Formen“1) betrachtet Herr Hilbert als Beispiel für einige seiner grundlegenden algebraischen Sätze unter anderem die durch die Gleichungen (1) x 0 = ξ 1 3 , x 1 = ξ 1 2 ξ 2 , x 2 = ξ 1 ξ 2 2 , x 3 = ξ 2 3 $${x_0} = \xi _1^3,{x_1} = \xi _1^2{\xi _2},{x_2} = {\xi _1}\xi _2^2,{x_3} = \xi _2^3$$ definierte Raumkurve dritter Ordnung, wobei x 0, x 1, x 2, x 3 die homogenen Raumkoordinaten und ξ1, ξ2 zwei veränderliche Parameter bezeichnen. Wie Herr Hilbert zeigt, wird diese Kurve durch die quadratischen Gleichungen (2) Φ 1 ≡ x 0 x 2 − x 1 2 = 0 , Φ 2 ≡ x 0 x 3 − x 1 x 2 = 0 , Φ 3 ≡ x 1 x 3 − x 2 2 = 0 $${\Phi _1} \equiv {x_0}{x_2} - x_1^2 = 0,{\Phi _2} \equiv {x_0}{x_3} - {x_1}{x_2} = 0,{\Phi _3} \equiv {x_1}{x_3} - x_2^2 = 0$$ in dem Sinne vollständig dargestellt, dass die Gleichung jeder die Kurve enthaltenden Fläche in der Gestalt (3) F ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ≡ A 1 Φ 1 + A 2 Φ 2 + A 3 Φ 3 = 0 $$F\left( {{x_0},{x_1},{x_2},{x_3}} \right) \equiv {A_1}{\Phi _1} + {A_2}{\Phi _2} + {A_3}{\Phi _3} = 0$$ geschrieben werden kann, unter A 1, A 2, A 3 Formen von x 0, x 1, x 2, x 3 verstanden. Oder in anderer Ausdrucksweise: „Die Formen F(x 0, x 1, x 2, x 3) welche durch die Substitution (1) in identisch verschwindende Formen der Parameter ξ1, ξ2 übergehen, bilden den durch die Unterdeterminanten zweiten Grades der Matrix | x 0 , x 1 , x 2 x 1 , x 2 , x 3 | $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0},{x_1},{x_2}} \\{{x_1},{x_2},{x_3}} \\\end{array}} \right|$$ definierten Modul.“

Date: 1963
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