Über die Nullstellen der Bessel’schen Funktion

Adolf Hurwitz

Chapter XIV in Mathematische Werke, 1932, pp 266-286 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Diejenigen Werte des Argumentes z, für welche die Bessel’sche Transzendente (1) J n ( z ) = ( z 2 ) n [ 1 Γ ( n + 1 ) Γ ( 1 ) − ( z 2 ) 2 Γ ( n + 2 ) Γ ( 2 ) + − ... + ( − 1 ) r ( z 2 ) 2 r Γ ( n + r + 1 ) Γ ( r + 1 ) − ... ] $${J_n}(z) = {\left( {\frac{z}{2}} \right)^n}\left[ {\frac{1}{{\Gamma (n + 1)\Gamma (1)}} - \frac{{{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^2}}}{{\Gamma (n + 2)\Gamma (2)}} + - ... + \frac{{{{( - 1)}^r}{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{2r}}}}{{\Gamma (n + r + 1)\Gamma (r + 1)}} - ...} \right]$$ verschwindet, spielen bekanntlich in vielen mathematisch-physikalischen Untersuchungen eine wichtige Rolle. Man weiss von diesen Nullwerten, dass sie sämtlich reell sind, wenn der Index n einen reellen Wert besitzt, welcher nicht kleiner als — 1 ist. Den Beweis dieses Satzes pflegt man nach Pois son’s Vorgang auf eine Integralformel zu gründen (vergl. unten § 7), die auch sonst in der Theorie der Bessel’schen Funktionen von Wichtigkeit ist1). Herr Schläfli hat aus einer ähnlichen Formel eine weitere Eigenschaft jener Nullwerte gefolgert2). Betrachtet man nämlich den einzelnen Nullwert als Funktion ψ(n) des Index n, so wächst ψ(n) beständig, wenn n von Null ausgehend die reellen positiven Werte durchläuft. Endlich ist noch zu bemerken, dass man die Existenz von unendlich vielen Wurzeln der Gleichung J n (z) = 0 aus dem asymptotischen Wert von J n (z) für unendlich grosse Werte von z geschlossen hat3).

Date: 1932
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DOI: 10.1007/978-3-0348-4161-0_14

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