Über die Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen

Adolf Hurwitz

Chapter XVII in Mathematische Werke, 1932, pp 299-305 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Bei der Untersuchung der Wurzeln von transzendenten Gleichungen kann man häufig den folgenden Satz mit Nutzen verwenden: „Es mögen in einem Bereiche B der z- Ebene die Punktion f(z) und jede der Funktionen φ 1(z), φ 2(z),... den Charakter einer rationalen Funktion besitzen. Ferner sei in demselben Bereiche gleichmässig lim n = ∞ φ n ( z ) = f ( z ) $$\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } {\varphi _n}(z) = f(z)$$ . Sucht man dann die Wurzeln der Gleichungen φ 1 ( z ) = 0 , φ 2 ( z ) , … φ n ( z ) = 0 , … , $${\varphi _1}(z) = 0,{\varphi _2}(z), \ldots {\varphi _n}(z) = 0, \ldots ,$$ so sind, in dem Bereiche B, die Häufungsstellen dieser Wurzeln identisch mit den Lösungen der Gleichung f(z) = 0. Und zwar liegen in einer noch so kleinen Umgebung einer r-fachen Wurzel der Gleichung f(z) = 0 genau r Wurzeln der Gleichung φ n(z) = 0, sobald n eine bestimmte (von der gewählten Umgebung abhängende) Zahl überschreitet.“

Date: 1932
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DOI: 10.1007/978-3-0348-4161-0_17

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