Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe

Adolf Hurwitz

Chapter XX in Mathematische Werke, 1932, pp 314-320 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Wenn in der Gauss’sehen hypergeometrischen Reihe (1) F ( l , m , n , x ) = 1 + l ⋅ m n x 1 + l ( l + 1 ) m ( m + 1 ) n ( n + 1 ) x 2 2 ! + … $$F(l,m,n,x) = 1 + \frac{{l \cdot m}}{n}\frac{x}{1} + \frac{{l(l + 1)m(m + 1)}}{{n(n + 1)}}\frac{{{x^2}}}{{2!}} + \ldots $$ die Elemente l, m, n positive reelle Werte besitzen, so ist klar, dass die Reihe für jedes positive x einen positiven Wert annimmt, und dass es daher keinen zwischen 0 und 1 liegenden Wert von x geben kann, welcher die Gleichung (2) F ( l , m , n , x ) = 0 $$F(l,m,n,x) = 0$$ befriedigt. Sind dagegen die Elemente l, m, n nicht sämtlich positiv, so kann die Gleichung (2) möglicherweise für einen oder mehrere zwischen 0 und 1 liegende Werte von x erfüllt sein, und es entsteht die Aufgabe, genau die Anzahl der zwischen 0 und 1 liegenden Wurzeln der Gleichung (2) zu ermitteln.

Date: 1932
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DOI: 10.1007/978-3-0348-4161-0_20

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