Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale

Adolf Hurwitz

Chapter XXVIII in Mathematische Werke, 1932, pp 485-489 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Wenn die Funktion f(x) in jedem endlichen Intervalle der positiven Zahlenaxe integrierbar ist und für unendlich grosse positive Werte von x stärker Null wird als jede endliche Potenz von 1 x $$\tfrac{1}{x}$$ , so stellt das Integral J ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) x 8 − 1 d x $$J(x) = \int_0^\infty {f(x){x^{8 - 1}}dx} $$ eine holomorphe Funktion der komplexen Variablen s vor in demjenigen Bereiche der s-Ebene, in welchem der reelle Teil von s positiv ist1). Macht man die weitere Voraussetzung, dass f(x) in der Umgebung von x = 0 in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickelbar ist, so ergibt sich durch bekannte Methoden2), dass dann das Integral J(s) einen Zweig einer in der ganzen Ebene eindeutigen analytischen Funktion darstellt, die nur für s = 0 und für negative ganzzahlige Werte von s unstetig von der ersten Ordnung werden kann. (Des Näheren bleibt die Funktion an der Stelle s = - n stetig nach Subtraktion von c n s + n $$\tfrac{{{c_n}}}{{s + n}}$$ , wo c n den Koeffizienten von x n in der Entwicklung von f(x) bezeichnet.)

Date: 1932
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DOI: 10.1007/978-3-0348-4161-0_28

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