Elementarteiler, Klassifikation

Rudolf Zurmühl

Chapter 19 in Matrizen, 1950, pp 186-198 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Wir wenden uns jetzt der Kernfrage nach dem Rangabfall der charakteristischen Matrix A − λE einer n-reihigen quadratischen (reellen oder komplexen) Matrix A zu. Die charakteristische Determinante bzw. das charakteristische Polynom 1 $$p\left( \lambda \right) = \left| {\lambda F - A} \right| $$ besitzt von jeder charakteristischen Zahl λ σ der Matrix den Linearfaktor λ − λ σ in der Potenz p σ der Vielfachheit von λ σ : 2 $$p\left( \lambda \right) = {\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^{p1}}{\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)^{p2}}...{\left( {\lambda - {\lambda _s}} \right)^{ps}} $$ Ist nun der Rangabfall e σ der charakteristischen Matrix für eine bestimmte Zahl λ σ gerade gleich 1, verschwinden also für λ = λ σ nicht sämtliche (n − 1)-reihigen Unterdeterminanten der charakteristischen Matrix, so dürfen diese Unterdeterminanten, aufgefaßt als Polynome in A, den Linearfaktor λ − λ σ nicht als gemeinsamen Faktor enthalten. Ist dagegen e σ > 1, verschwinden also sämtliche (n − 1)-reihigen Unterdeterminanten für λ = λ σ , so besitzen sie offenbar gerade λ − λ σ als gemeinsamen Teiler. Ist nun e σ = 2, verschwinden also nicht alle (n − 2)reihigen Unterdeterminanten für λ = λ σ , so besitzen sie λ − λ σ wieder nicht als gemeinsamen Teiler. Dies trifft dagegen wohl zu für e σ > 2 usf. Für den Rangabfall sind daher die gemeinsamen Teiler der Unterdeterminanten der charakteristischen Matrix entscheidend.

Date: 1950
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DOI: 10.1007/978-3-642-53289-4_19

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