Ein Kriterium für den positiv definiten Charakter von Fourierintegralen und die Darstellung solcher als Summe von Quadraten

F. Bernstein

A chapter in Festschrift, 1982, pp 155-159 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Gestattet eine für alle reellen Argumente reguläre Funktion β(x) eine beständig konvergente Entwicklung der Form $$\beta (x + y) = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} $$ wo die gleichfalls für alle reellen x regulären Funktionen β μ (x) durch konvergente Reihen der Form $${\beta _\mu }(x)={x^\mu}(1+{\alpha _{\mu 1}}x + {\alpha _{\mu 2}}{x^2} + \ldots){\text{}}(\mu=0,1,2, \ldots )$$ in der Umgebung der Stelle x = 0 definiert sind, so läßt sich leicht zeigen, daß die Entwicklung nur eindeutig möglich ist. Es ist nämlich, wenn für n = 0 der Ausdruck $$\mathop \sum \limits_{\mu = 0}^{n - 1} $$ Null bedeutet: $$\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} = \frac{{{\beta _n}(x)}}{{{\lambda _n}}}{y^n}(1 + {\alpha _{n1}}y + \ldots ) + {x^{n + 1}}{y^{n + 1}}(\frac{1}{{{\lambda _{n + 1}}}} + \ldots )$$ $$\frac{{\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} }}{{{y^n}}} = \frac{{{\beta _\mu }(x)}}{{{\lambda _\mu }}}(1 + {\alpha _{n1}}y + \ldots ) + {x^{n + 1}}y(\frac{1}{{{\lambda _n} + 1}} + \ldots )$$ also $$\mathop {\lim }\limits_{y = 0} \frac{{\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} }}{{{y^n}}} = \frac{{{\beta _n}(x)}}{{{\lambda _n}}}$$

Date: 1982
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