Idealclassen und deren Composition (§ 181.)

Katrin Scheel ()
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Katrin Scheel: Technische Universität Braunschweig, Institut Computational Mathematics AG PDE

Chapter Kapitel 25 in Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, 2020, pp 243-249 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Wir haben gesehen, dass jedes Ideal $$\mathfrak {a}$$ durch Multiplication mit einem geeigneten Ideal $$\mathfrak {m}$$ in ein Hauptideal $$\mathfrak {am}$$ verwandelt werden kann (§. 177, IX), und wollen nun zwei Ideale $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ äquivalent nennen, wenn beide durch Multiplication mit einem und demselben Factor $$\mathfrak {m}$$ in Hauptideale $$\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu $$ , $$\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$$ übergehen; dann ist $$\mathfrak {a}\mu '=\mathfrak {a}'\mu $$ , und wenn man die (ganze oder gebrochene) Zahl $$\mu '\mu ^{-1}=\eta $$ setzt, so wird $$\mathfrak {a}'=\mathfrak {a}\eta $$ . Umgekehrt, wenn es eine Zahl $$\eta $$ giebt, welche dieser Bedingung genügt, so sind die Ideale $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ äquivalent, weil dann aus $$\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu $$ auch $$\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$$ folgt, wo $$\mu '=\mu \eta $$ gewiss eine ganze Zahl ist. Zugleich ergiebt sich hieraus, dass jeder Factor $$\mathfrak {m}$$ , welcher das eine von zwei äquivalenten Idealen $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ in ein Hauptideal verwandelt, Gleiches auch für das andere Ideal leistet, und dass folglich je zwei Ideale $$\mathfrak {a}'$$ , $$\mathfrak {a}''$$ , die mit einem dritten Ideal $$\mathfrak {a}$$ äquivalent sind, stets auch mit einander äquivalent sein müssen.

Date: 2020
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