Numerische Verfahren

Rudolf Zurmühl

Chapter VI. Kapitel in Matrizen, 1961, pp 273-351 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Die zahlenmäßige Behandlung der Eigenwertaufgabe: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix, stellt bei Matrizen größerer Reihenzahl einen umfangreichen numerischen Prozeß dar, für den in der praktischen Mathematik zahlreiche numerische Verfahren entwickelt worden sind. Es handelt sich dabei um eine Aufgabe größter praktischer Bedeutung, da zahlreiche Probleme der Technik und Physik teils unmittelbar, teils durch Verwendung von Näherungsmethoden — z. B. Ritz-Verfahren und Differenzenverfahren — auf die Matrizen-Eigenwertaufgabe führen. Schon in § 14.2 und 4 haben wir zwei wichtige der hier in Betracht kommenden Verfahren kennen gelernt, ein direktes und ein iteratives. Die direkten Methoden lösen die Aufgabe durch Aufstellen der charakteristischen Gleichung, deren Wurzeln sämtliche Eigenwerte der Matrix liefern, wozu dann die Eigenvektoren gesondert berechnet werden. Der Arbeitsaufwand ist bei umfangreichen Matrizen entsprechend groß. Demgegenübef liefern die iterativen Verfahren unmittelbar nur einen oder einige wenige der Eigenwerte und zugleich die zugehörigen Eigenvektoren ohne Aufstellen der charakteristischen Gleichung. Da in den meisten Fällen nicht die Gesamtheit aller Eigenwerte einer Matrix interessiert, insbesondere dann nicht, wenn es sich um Matrizen großer Reihenzahl handelt, so kommt diesen iterativen Methoden eine ganz besondere praktische Bedeutung zu. Wir beginnen daher die nun folgende zusammenhängende Darstellung der numerischen Behandlung des Eigenwertproblems mit ihnen, zumal, wie schon aus § 14 ersichtlich wurde, die direkten Methoden teilweise in engem Zusammenhang mit den iterativen stehen.

Date: 1961
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DOI: 10.1007/978-3-662-12439-0_6

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