Ramanujan-Summen

Paul J. McCarthy
Additional contact information
Paul J. McCarthy: University of Kansas, Department of Mathematics

Chapter 2 in Arithmetische Funktionen, 2017, pp 49-77 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Zur Vereinfachung der Schreibweise setzt man $$\displaystyle e\left(\alpha\right):=\mathrm{e}^{2\mathrm{\pi}\mathrm{i}\alpha}$$ Für eine ganze Zahl n und eine natürliche Zahl q wird die Summe $$\displaystyle c_{q}(n):=\sum\limits_{\substack{a=1\\ \left(a;q\right)=1}}^{q}{e\left(\frac{an}{q}\right)}$$ betrachtet. Üblicherweise wird über alle a mit 1 ≤ a ≤ q und $$\left(a;q\right)=1$$ summiert. Ebenso könnte jedoch auch über ein beliebiges primes Restklassensystem modulo q summiert werden, da für $$a\equiv b\leavevmode\nobreak\ \left(\operatorname{mod}q\right)$$ die Identität $$e\left(\frac{an}{q}\right)=e\left(\frac{bn}{q}\right)$$ gilt. Die Summe $$c_{q}(n)$$ heißt Ramanujan-Summe. Für festes q erhält man eine arithmetische Funktion $$c_{q}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{C}$$ . Andererseits erhält man auch für festes n eine arithmetische Funktion in q. Für n = 0 ergibt sich die Eulersche $$\varphi$$ -Funktion, für n = 1 die Möbius-Funktion μ $$\begin{aligned}\displaystyle c_{q}(0)&\displaystyle=\varphi(q)\\ \displaystyle c_{q}(1)&\displaystyle=\mu(q)\end{aligned}$$ wie sich aus dem nachstehenden Lemma 2.1 ergibt.

Date: 2017
References: Add references at CitEc
Citations:

There are no downloads for this item, see the EconPapers FAQ for hints about obtaining it.

Related works:
This item may be available elsewhere in EconPapers: Search for items with the same title.

Export reference: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTML/Text

Persistent link: https://EconPapers.repec.org/RePEc:spr:sprchp:978-3-662-53732-9_2

Ordering information: This item can be ordered from
http://www.springer.com/9783662537329

DOI: 10.1007/978-3-662-53732-9_2

Access Statistics for this chapter

More chapters in Springer Books from Springer
Bibliographic data for series maintained by Sonal Shukla () and Springer Nature Abstracting and Indexing ().