Die Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse

Alfred Clebsch

Chapter Zweite Abtheilung in Vorlesungen über Geometrie unter Besonderer Benutzung der Vorträge, 1891, pp 131-432 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Die allgemeinste Gleichung zweiten Grades in homogenen Punktcoordinaten ist die folgende: (1) $$a_{11} x_1 ^2 + a_{22} x_2 ^2 + a_{33} x_3 ^2 + a_{44} x_4 ^2 + 2a_{12} x_1 x_2 + 2a_{13} x_1 x_3 + 2a_{14} x_1 x_4 + 2a_{34} x_3 x_4 + 2a_{24} x_2 x_4 + 2a_{23} x_2 x_3 = 0$$ oder, wie wir zur Abkürzung schreiben wollen: $$\Sigma \Sigma a_{ik} x_i x_k = 0$$ wobei a ki = a ik angenommen wird. Sie enthält zehn Coëfficienten, welche homogen vorkommen, auf deren Verhältnisse es also allein ankommt. Man kann sie, und damit die Fläche, bestimmen, indem man ihnen neun lineare Bedingungen auferlegt, z. B. die neun Bedingungen, dass die dargestellte Fläche durch neun gegebene Punkte x (1), x (2) .... x (9) gehen solle. In dem Falle hat man die neun Gleichungen: $$\Sigma \Sigma a_{ik} x_i^{(1)} x_k^{(1)} = 0,\,\Sigma \Sigma a_{ik} x_i^{(1)} x_k^{(2)} = 0, \cdot \cdot \cdot \,\Sigma \Sigma a_{ik} x_i^{(9)} x_k^{(9)} = 0$$

Date: 1891
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