Remarques sur la théorie axiomatique de la dimension

Par C. Kuratowski and K. Menger

A chapter in Selecta Mathematica, 2002, pp 129-134 from Springer

Abstract: Résumé Dans votre mémoire „Zur Begründung einer axiomatischen Theorie der Dimension“ (Monatshefte f. Math. u. Phys., 36, p. 205) vous demandez, si un Système monotone, F σ-additif, topologique et complet est nécessairement compactifiable La réponse est négative. Soit A un ensemble G δ discontinu à une dimension dans le plan1) et soit G le Système de tous les ensembles plans qui sont homéomorphes à des sous-ensembles de A. Ce Système est évidemment monotone et topologique. II est F σ-additif. En effet, tout ensemble fermé homéomorphe d’un sous-ensemble de A est discontinu; donc la somme d’une suite dénombrable d’ensembles fermés de G, étant de dimension 0, est topologiquement contenu dans l’ensemble A, puisque ce dernier ensemble, étant un G δ indénombrable, contient un sous-ensemble parfait. — Le Système G est complet. Soit M un élement de G, M* un sous-ensemble de A homéomorphe de M. L’homéo-morphie entre M et M* peut-être étendue, en vertu du théorème de M. Lavrentieff à une homéomorphie entre deux ensembles Gδ : G et G* (G ⊃ M, G*⊃ M*). Soit K=A.G*, et K* l’image de K (dans la correspondance entre G et G*). L’ensemble K, étant pro-duit de deux ensembles 6δ, est un G δ, donc K*, étant homéomorphe de K, est un G δ. D’autre part, K* contient M comme sous-ensemble et, étant homéomorphe d’un sous-ensemble de A, est élément de G.

Date: 2002
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DOI: 10.1007/978-3-7091-6110-4_11

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