Aplicación de las ecuaciones diferenciales con retardo

Gabriel Pérez Lance

No 781, CEMA Working Papers: Serie Documentos de Trabajo. from Universidad del CEMA

Abstract: Existen innumerables situaciones en las que la modelización de problemas de ingeniería, economía, física, química, logística y ciencias en general, conduce al planteo de una ecuación diferencial, o bien a un sistema de ecuaciones diferenciales. De hecho es un tema ampliamente estudiado y se lo ha enmarcado en diferentes esquemas y tipos de ecuaciones diferenciales de acuerdo con la estructura, el orden y si involucran derivadas parciales o totales. En los sistemas lineales es habitual el estudio de los autovalores asociados a dicho sistema, para entender su comportamiento y caracterizar la estabilidad del mismo. En ingeniería a menudo se trabaja con lo que se denomina ”sistemas realimentados”, esto es, sistemas en donde una determinada variable es monitoreada mediante un sensor, y a partir del valor obtenido, una parte del sistema aplica la información correspondiente a este valor, para ajustar la variable que se desea controlar. Todo este proceso se modeliza mediante ecuaciones integro-diferenciales, pues las magnitudes involucradas se relacionan entre sí - debido a los modelos que se suelen utilizar - a través de derivadas temporales de distinto orden. Existe toda un área de la ingeniería denominada ”Control Automático” y ”Control Robusto”, orientada a estudiar estos problemas, y es muy común encararlos - cuando se trata de sistemas lineales - mediante transformada de Laplace (para el caso continuo), o transformada Zeta (en el caso discreto). Es interesante ahora reflexionar en el siguiente aspecto: una variable puede ser tal que, para determinado modelo, su derivada influya sobre otra variable; pero la cuestión es que, en el mundo real, suele ocurrir que además esto no ocurre de manera instantánea, sino que el impacto de esta relación tiene lugar un cierto tiempo después. Es decir, el sensor toma en el momento t0 el valor de la variable x, y esta variable x(t0) tal vez se relaciona con otra variable y(t) o quizás con la derivada temporal de x(t) pero en un momento t+δt . Dependiendo del ámbito de aplicación podrı́a ocurrir que el delay se deba al tiempo que le toma a un mercado en ”reaccionar” frente a un cierto cambio, o bien al tiempo que le toma a un microorganismo estar en condiciones de ejercer su influencia en un determinado ser vivo, y ası́ en muchos otros casos. Lo que deberı́a quedar claro es que el caso más general es justamente aquel donde lo más habitual es que exista un retardo, y no el caso en que las interacciones pudieran ser instantáneas.

Pages: 29 pages
Date: 2021-03
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