Relative Primideale (§ 178.)

Katrin Scheel ()
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Katrin Scheel: Technische Universität Braunschweig, Institut Computational Mathematics AG PDE

Chapter Kapitel 22 in Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, 2020, pp 215-229 from Springer

Abstract: Zusammenfassung Der grösste gemeinsame Theiler $$\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$$ und das kleinste gemeinsame Vielfache $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ von zwei Idealen $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ sind ebenfalls Ideale. denn jedenfalls sind die Moduln $$\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$$ und $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar durch $$\mathfrak {o}$$ , weil dasselbe von $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ gilt; da nun $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar ist durch $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ , so ist $$\mathfrak {o}(\mathfrak {a}-\mathfrak {b})$$ theilbar durch $$\mathfrak {oa}$$ und $$\mathfrak {ob}$$ , d. h. durch $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ , also auch durch $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ ; und da das von Null verschiedene Product $$\mathfrak {ab}$$ (nach §. 177, IV) durch $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar ist, so ist $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ auch von Null verschieden und folglich ein Ideal.

Date: 2020
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DOI: 10.1007/978-3-658-30928-2_22

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