Grundzüge einer Theorie der Kurven

Karl Menger and L. E. J. Brouwer

A chapter in Selecta Mathematica, 2002, pp 209-213 from Springer

Abstract: Zusammenfassung 1. Der Kurvenbegriff. Durch keine der älteren Kurvendefinitionen wurde das, was in der Anschauung für die Kurven charakteristisch ist, restlos erfasst Die Jordanschen „Kurven“ (die eindeutigen stetigen Bilder der Strecke) und die irreduziblen Kontinua können bekanntlich ganze Flächenstücke enthalten, — zu den einfachen Kurvenbögen (den topologischen Bildern der Strecke) gehört schon eine so einfache Kurve, wie die Kreislinie, nicht, — und die Cantorsche Definition der ebenen Kurven als nirgends dichte Kontinua ist auf andre Euklidsche Räume prinzipiell unübertragbar. Wir bezeichnen, gestützt auf eine allgemeine Dimensionstheorie 1), als Kurven die eindimensionalen Kontinua. Ein Kontinuum K, in dem (durch eine Metrik oder axiomatisch) Umgebungen definiert sind, heisst demgemäss Kurve, wenn zu jedem Punkt von K beliebig kleine Umgebungen mit diskontinuierlichen (d. h. keine Kontinua enthaltenden) Begrenzungen existieren. Die Dimensionstheorie lehrt, dass die Kurvennatur gegenüber topologischen Abbildungen invariant ist, — dass das Interval des R1 und mithin jeder einfache Kurvenbogen eine Kurve ist, — dass dagegen im Rn (n ≧ 2) die Kurven nirgends dicht sind und im Rn (n ≧ 3) ein zusammenhängendes Komplement besitzen. Im R2 sind die Kurven mit den nirgends dichten Kontinua (also mit den Kurven im Cantorschen Sinn) identisch.

Date: 2002
References: Add references at CitEc
Citations:

There are no downloads for this item, see the EconPapers FAQ for hints about obtaining it.

Related works:
This item may be available elsewhere in EconPapers: Search for items with the same title.

Export reference: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTML/Text

Persistent link: https://EconPapers.repec.org/RePEc:spr:sprchp:978-3-7091-6110-4_16

Ordering information: This item can be ordered from
http://www.springer.com/9783709161104

DOI: 10.1007/978-3-7091-6110-4_16

Access Statistics for this chapter

More chapters in Springer Books from Springer
Bibliographic data for series maintained by Sonal Shukla () and Springer Nature Abstracting and Indexing ().