Many‐valued Logic in Multistate and Vague Stochastic Systems

Kimberly F. Sellers and Nozer D. Singpurwalla

International Statistical Review, 2008, vol. 76, issue 2, 247-267

Abstract: The state of the art in coherent structure theory is driven by two assertions, both of which are limiting: (1) all units of a system can exist in one of two states, failed or functioning; and (2) at any point in time, each unit can exist in only one of the above states. In actuality, units can exist in more than two states, and it is possible that a unit can simultaneously exist in more than one state. This latter feature is a consequence of the view that it may not be possible to precisely define the subsets of a set of states; such subsets are called vague. The first limitation has been addressed via work labeled ‘multistate systems’; however, this work has not capitalized on the mathematics of many‐valued propositions in logic. Here, we invoke its truth tables to define the structure function of multistate systems and then harness our results in the context of vagueness. A key contribution of this paper is to argue that many‐valued logic is a common platform for studying both multistate and vague systems but, to do so, it is necessary to lean on several principles of statistical inference. L'état de l'art dans la théorie de structure cohérente est guidé par deux assertions qui sont tous deux limitants : (1) toutes les unités d'un système peuvent exister dans un de deux états, défaillant ou fonctionnant; et (2) à n'importe quel moment, chaque unité peut seulement exister dans un des susdits états. En réalité, les unités peuvent exister dans plus de deux états et c'est possible qu'une unité puisse simultanément exister dans plus d'un état. Cette dernière caractéristique est une conséquence de l'opinion qu'il ne soit peut‐être pas possible de définir avec précision les sous‐ensembles d'un ensemble d'états; on appelle de tels sous‐ensembles vagues. La première restriction a été adressée par les méthodes appelées “systèmes multi‐états”; pourtant, ces méthodes n'ont pas pris avantage des mathématiques sur les propositions multivalues en logique. Ici, nous invoquons ses tables de vérité pour définir la fonction des systémes multi‐états et exploiter ensuite nos résultats dans le contexte d'ambiguïté. Une contribution clé de ce papier est d'argumenter que la logique de plusieurs values est une plateforme commune pour étudier tant les systèmes multi‐états que les systémes vagues, mais pour faire ceci, il est nécessaire de se baser sur plusieurs principes d'inférence statistique.

Date: 2008
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